A kis Endre mindössze négyéves volt, amikor családjával Magyarországra került. 1960-tól a Budapesti Építők, 1966-tól a Budapesti Spartacus úszója és vízilabdázója volt. Kiemelkedő eredményeket vízilabdakapusként ért el. 1966–1980 között összesen száznyolcvankilenc alkalommal szerepelt a magyar válogatottban. Kapuvédőként része volt a magyar csapat valamennyi, ebben az időszakban elért eredményében, a nyári olimpiákon négy, a világbajnokságokon három és az Európa-bajnokságokon két érmet szerzett. Az aktív sportolást az 1980-as olimpia után fejezte be.

Az 1972-es müncheni nyári olimpián ezüst-, a ’76-os montreali olimpián aranyérmet szerzett, de 1968-ban és 1980-ban is dobogóra állhatott a magyar pólóválogatottal, mindkétszer bronzérmet szerzett. 1973-ban Belgrádban világbajnok lett, ezenkívül van még két vb-ezüstje, illetve kétszeres Európa-bajnoknak is mondhatja magát.
Ötször választották meg az év magyar vízilabdázójának, illetve egyedüli kapusként beválasztották az évszázad magyar vízilabda-válogatottjába is. Szülővárosa 2006-ban díszpolgári címet adományozott neki, öt éve pedig kiérdemelte a Magyar Érdemrend tisztikeresztje kitüntetést is.

A kezdetekről így mesélt egy korábbi interjújában: „A csínytevésekre is erőteljesen hajlamos, örökmozgó gyermekként számos sportágat kipróbáltam, mint mindenki abban a korszakban. Magánál a vízilabdánál csak viszonylag későn, 14-15 éves koromban kötöttem ki. A medencében valamivel hamarabb, ugyanis az Építőknél jelentkeztem úszóedzésre. Túl sokáig nem marasztaltak, mert a kitűnő úszó és úszóedző, Mészárovits Jani bácsi csakhamar kijelentette rólam, hogy belőlem nagy úszó egészen biztosan nem lesz. Ugyanakkor azt is mondta, hogy mivel hosszú karjaim vannak, érdemes megpróbálni a pólót. Máig nem tudom, hogy ezt nemcsak azért mondta-e, hogy ne bántson meg annyira, de ez már mindegy is. Mivel ugyanis a medence légköre, hangulata nagyon magával ragadott, így kapva kaptam a lehetőségen és vízilabdázni kezdtem. Eleinte ott sem annyira a sportág szépsége fogott meg, hanem a közeg, a társaság, amelyet nagyon megszerettem. Meg persze az is, hogy eléggé hamar átéltem az első sikerélményeket, amik további munkára sarkalltak.”
Molnár Endre négy érmet szerzett az olimpiai játékokon, ennél többre, ötre, csak a legendás Gyarmati Dezső volt képes pályafutása során. A gyergyói pólókapus azt mondja, az olimpiák sajátos hangulatú rendezvények, mindegyik emlékezetes maradt valamiről. „Számomra például arról, hogy a magyar póló számos nagy legendájával szerepelhettem egy csapatban, és arról is, hogy mindegyiken érmet nyertünk a válogatottal, így teljes éremkollekcióval rendelkeztem, amíg egy betörő el nem vitte a legfényesebb érmeket…”
Az egykori világklasszis vízilabdakapus életpályáját elismerték a nemzetközi sportvilágban is: februárban bejelentették, beválasztják a Nemzetközi Úszó Hírességek Csarnokába. A hivatalos beiktatásra a szingapúri világbajnokságon kerül sor, ahol Molnár Endrét unokái képviselik. „Kicsit nehezen megy a mozgás, de egyébként szerencsére jól vagyok, nincs különösebb baj” – mondta a Nemzeti Sportnak Molnár Endre, majd kitért a nem mindennapi díjra: „Először meglepett, utána pedig nagyon örültem az elismerésnek, de sajnos nem tudok kimenni átvenni, az unokáim vesznek részt az ünnepségen.”